正交矩阵的特征值为什么是1或负1

正交矩阵的特征值是1或-1的原因可以从正交矩阵的定义和性质出发进行推导：

1. 正交矩阵的定义 ：

正交矩阵是一种特殊的矩阵，其转置矩阵与逆矩阵相等，即 \\（ A^T = A^{-1} \\）。这意味着正交矩阵代表的是一个线性变换，该变换保持向量的长度不变，并且不改变向量之间的夹角。

2. 特征值的性质 ：

设 \\（ \\lambda \\） 是正交矩阵 \\（ A \\） 的一个特征值，\\（ x \\） 是属于 \\（ \\lambda \\） 的特征向量，则有 \\（ Ax = \\lambda x \\）。

3. 利用转置性质 ：

对等式 \\（ Ax = \\lambda x \\） 两边取转置，得到 \\（ x^T A^T = \\lambda x^T \\）。

4. 利用正交性 ：

由于 \\（ A \\） 是正交矩阵，所以 \\（ A^T A = E \\），其中 \\（ E \\） 是单位矩阵。

5. 推导特征值的模 ：

将 \\（ A^T A = E \\） 代入 \\（ x^T A^T = \\lambda x^T \\），得到 \\（ x^T x = \\lambda^2 x^T x \\）。

6. 特征值的模为1 ：

由于 \\（ x \\） 是非零向量，\\（ x^T x \\） 是一个正数。因此，\\（ \\lambda^2 = 1 \\）。

7. 特征值为1或-1 ：

解得 \\（ \\lambda = 1 \\） 或 \\（ \\lambda = -1 \\）。

综上所述，正交矩阵的特征值只能是1或-1，因为它们反映了正交变换保持向量长度不变的性质。这一结论对于理解正交矩阵在数学和物理中的应用非常重要

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